A matemática do jogo

A matemática do jogo é a matemática da probabilidade. Mesmo que você odeie esta matéria na escola ou tenha pelo menos um conhecimento básico de matemática, recomendamos que você preste muita atenção a esta seção. Muito do que discutimos nas outras páginas deste site está relacionado à matemática do jogo. Abordaremos probabilidades e probabilidades, vantagem da casa, apostas acumuladas e o Teorema de Bayes.

A matemática do jogo é a matemática da probabilidade. Mesmo que você odeie esta matéria na escola ou tenha pelo menos um conhecimento básico de matemática, recomendamos que você preste muita atenção a esta seção. Muito do que discutimos nas outras páginas deste site está relacionado à matemática do jogo. Abordaremos probabilidades e probabilidades, vantagem da casa, apostas acumuladas e o Teorema de Bayes.

Probabilidades e probabilidades

Os jogadores e as casas de apostas expressam a probabilidade em termos de probabilidades. Os dois termos significam essencialmente a mesma coisa. As probabilidades de um cavalo vencer uma corrida ou de um time de futebol derrotar o adversário são as probabilidades de que as casas de apostas decidiram que esses eventos ocorressem. Por exemplo, superamos que um cavalo em uma corrida tenha chances de 4-1 (quatro para um), isso significa que as casas de apostas esperam que o cavalo ganha uma vez a cada quatro derrotas (em outras palavras, ganha uma vez a cada 5 tentativas). posicionando o seu aposta inicial neste evento vencedor, você terá uma chance de 1/5. Para expressar isso em termos de probabilidade, basta somar os dois números e colocar o total na parte inferior de uma recepção (o denominador) e o número de sucessos (o segundo número quando se olha para as probabilidades) no topo da receita (o numerador) .

Alguns exemplos de conversão de probabilidades para frações são dados abaixo.

Onze probabilidades podem ser expressas como frações, mas também podemos pensar nelas como porcentagens. Por exemplo, nosso exemplo 4-1 torna-se um quinto como uma receita, o que corresponde a 20% (1 dividido por 5 e, em seguida, vezes 100). Isso significa que as casas de apostas pensam que há uma mudança de vinte por cento no evento ocorrido. Às vezes pode ser mais fácil pensar em chances e probabilidades em termos de porcentagens. A capacidade de alterar as probabilidades para frações e vice-versa é uma Habilidade do jogador todo jogador de cassino deve adquirir.

A vantagem da casa

Você provavelmente já ouviu dizer que a casa (cassino) tem uma vantagem no blackjack, dados ou roleta, mas o que isso significa? Bem, vamos pegar o exemplo de um cara ou coroa. As probabilidades verdadeiras são 50/50, em outras palavras, há cinquenta por cento de chance de cara e cinquenta por cento de chance de coroa ser o resultado do cara ou coroa.

Isso é chamado de arremesso de dinheiro por par e terá chances de 1-1 (dinheiro por par). Lembre-se de que, expresso em correspondência, será 1/2, ou metade. Digamos que você tenha 20 pessoas que desejam apostar no resultado do cara ou coroa, e você oferece a todo elas dinheiro igual ou 1-1 na aposta. 10 pessoas decidem apostar cara e 10 decidem apostar coroa. O resultado é cara e você paga a cada pessoa que apostata cara (lembre-se de que eles ganham cada um e recebem a aposta de volta). Ou seja, você pagou e recebeu as apostas iniciais, não ganhou dinheiro algum. Por que não, vamos saber se você não tinha vantagem na casa. Vamos mudar um pouco as probabilidades, afinal você é uma casa de apostas e pode alterar as probabilidades como achar melhor. Vamos oferecer a cada pessoa que aposta no cara ou na coroa probabilidades de 5-6 (cinco para seis). Isso significa que para cada seis libras que eles apostarem, eles ganharão (na verdade, eles esperarão de volta sua aposta inicial, portanto, uma aposta retornará no total). Os 10 vencedores do primeiro exemplo estão de volta e cheios de dinheiro, prontos para apostar novamente e decidir que apostarão cada um, deles apostam em cara e cinco apostam em coroa. O lançamento da moeda resulta em coroa. Você coletou um total de apostas no evento (10 vezes a aposta de cada apostador) e deve pagar a cada um dos cinco vencedores (um total de ). Como o criador de livros, você acabou de lucrar com o lançamento de uma moeda porque estava em vantagem.

Todos nós amamos nas escolas que as probabilidades somam 1. Bem, para as casas de apostas, não. Vamos detalhar nossos exemplos acima e ver como você ganhou dinheiro. A tabela abaixo mostra as probabilidades, as frações e a chance percentual que você, conforme a casa de apostas, aplicada ao lançamento de uma moeda.

Então as porcentagens somaram 120%. Um valor acima de 100% é o lucro teórico da casa de apostas neste evento. Nesse caso, as casas de apostas podem esperar ganhar 20% no lançamento da moeda. Se você acha que acabamos de inventar este exemplo e as pessoas ficariam loucas se aceitassem as chances de 4-6 no lançamento de uma moeda, você está errado. Estas são as probabilidades exatas oferecidas pelas casas de apostas sobre qual time venceria no cara ou coroa no início do Superbowl em 2002. A vantagem da casa é de 20%. As probabilidades oferecidas em um evento são chamadas de book (daí o termo bookmakers) e às vezes diríamos que a casa de apostas estava executando um book de 20%. Isso, em essência, é a vantagem da casa. Quase todos os jogos têm uma vantagem da casa e como o cassino e a casa de apostas definem como probabilidades, eles podem decidir quanta vantagem eles têm.

Apostas

Uma negociação é quando um jogador aposta no resultado de dois ou mais eventos. Parlay tende a ser usado pelos brasileiros e pode ser mais comumente referido por Jogadores Europeus como duplos, agudos, acumuladores, etc. No entanto, não é útil apenas quando se olha para duplos e triplos.

Em sua forma mais simples, vamos imaginar que você está apostando no resultado de duas corridas de cavalos, o Cavalo A na primeira corrida e o Cavalo B na segunda corrida. Cavalo A é 6-4 e Cavalo B é 2-1. O método para calcular a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos é simplesmente multiplicá-los. Lembre-se de nossos exemplos sobre como transferir probabilidades para probabilidades de que 6-4 é 2/5 e 2-1 será 1/3. Se multiplicarmos as frações (multiplicar os números de cima e os números de baixo), obtemos…

2/5 * 1/3 = 2/15

Portanto, a resposta é 15/02. O que significa que há cerca de 13% de chance de que sua aposta seja vencedora.

Às vezes é útil calcular apostas acumuladas dessa maneira se uma casa de apostas estiver oferecendo possibilidades garantidas em uma aposta. Por exemplo, avaliação incorreta e duplas do primeiro artilheiro. Às vezes, pode ser aprovado para você fazer uma aposta padrão em vez de aproveitar as ofertas promocionais disponíveis.

Não entraremos em muitos detalhes sobre os acumulados, mas alguns exemplos a seguir mostrarão como eles podem ser aplicados a eventos diferentes.

Exemplo 1

Quais são as chances de sair cara quatro vezes em quatro lançamentos consecutivos de moeda (as chances de cara são iguais ou 1-1).

1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/16 (ou 6,25%)

Exemplo 2

Quais são as chances de receber dois seguidores de um baralho embaralhado? Esta é uma negociação um pouco mais complicada, mas não difícil. A probabilidade de receber o primeiro às é 4/52 (4 ases em um total de 52 cartas), e a probabilidade de receber o segundo às é 3/51 (3 ases restantes em um total de 51 cartas). Portanto o cálculo é.

4/52 * 3/51 = 12/2652 = 1/221 (ou 0,45%)

Teorema de Bayes

Ok, então agora estamos ficando muito pesados. O Teorema de Bayes é uma parte muito importante e incompreendida da teoria da probabilidade. Bayes lida com a probabilidade de ocorrência de um evento dado que um evento ocorreu. Isso é diferente de uma negociação onde os eventos podem ou não estar relacionados. Aqui estão alguns exemplos de quando uma aplicação do Teorema de Bayes seria adequada para resolver um problema de probabilidade

Quais são as chances de o Chelsea ganhar a FA Cup sabendo que um tempo de Londres vai ganhar?

Em uma corrida de dez cavalos há três potras (a, b e c), dado que sabemos que uma potranca venceu a corrida, qual é a probabilidade de que a potranca tenha vencido?

A fórmula usada para calcular essas probabilidades (e conhecida como o teorema de Bayes) é..
Probabilidade de ocorrência do evento pelos meios desejados
Probabilidade total de ocorrência do evento

Para entender melhor, vejamos nosso exemplo do Chelsea. Vamos assumir que restam oito vezes na FA Cup e eles têm as seguintes chances percentuais de vitória.

Chelsea 8%
Arsenal 15%
Tottenham 10%
Newcastle 25% (então sou fã do Newcastle…..)
Sunderland 2%
Manchester United 15%
Leeds 10%
Southampton 15%

Para quem não acompanha o futebol inglês os três times londrinos são Chelsea, Arsenal e Tottenham. Aplicando esses números ao Teorema de Bayes (acima), precisamos estabelecer a probabilidade do evento (ou seja, o Chelsea ganhar uma FA Cup) e a probabilidade total de o evento ocorrer (ou seja, a probabilidade de um tempo de Londres ganhar uma copa). A primeira probabilidade, a probabilidade do Chelsea vencer, é simplesmente 8% (da lista acima). A probabilidade de uma equipe de Londres vencer é continuada de forma semelhante. São simplesmente as probabilidades de vitória do Chelsea, vitória do Arsenal e vitória do Tottenham somadas. Isso será de 32% (8%+15%+10%). Bayes nos diz que a probabilidade de o Chelsea vencer a FA Cup, dado que sabemos que um tempo de Londres vencerá, é de 8%/32%, o que equivale a 25%. Pessoalmente, ainda acho que você deveria ter apostado no Newcastle.

Não vamos nos preocupar com o exemplo das potras, pois é exatamente igual ao exemplo acima. Em vez disso, vamos imaginar que você tenha uma moeda de duas cabeças no bolso. No entanto, você também tem outras quatro moedas da mesma denominação. Você tira uma moeda do bolso e, sem olhar para ver se é o título duplo, joga-a três vezes. Você obteve três caras seguidas. Quais são as chances de você tirar a moeda de dois carros? Este exemplo realmente chega ao cerne do Teorema de Bayes, portanto, se você estiver interessado, preste atenção.

A primeira probabilidade que precisamos encontrar é a probabilidade de ganhar a moeda de duas caras e tirar 3 caras seguidas. Isto é uma negociação. Na primeira parte devemos considerar qual é a probabilidade de tirarmos a moeda de duas caras e depois tirarmos 3 caras com ela. A resposta é 1/5 (a probabilidade de pegar o cabeçalho duplo) multiplicado por 1 (a probabilidade de tirar três caras seguidas). Agora vamos considerar a probabilidade de ganhar uma boa moeda e tirar três carros com ela. A resposta é 4/5 (sendo a chance de tirar uma boa moeda) multiplicado por 1/2 x 1/2 x 1/2 (sendo a probabilidade de tirar três carros seguidos com ela). A resposta é 1/10.

Agora podemos aplicar ou números ao Teorema de Bayes. A fórmula nos diz que a probabilidade será…
Probabilidade de ocorrência do evento pelos meios desejados
Probabilidade total de ocorrência do evento

Neste exemplo, a probabilidade do evento ocorrer pela média desejada é a probabilidade de ganhar a moeda de duas caras e jogar três caras…. Sabemos que é 1/5.

A probabilidade total do evento ocorrer é a probabilidade de você tirar uma moeda do bolso e jogar três carros com ela. A probabilidade de ganhar a moeda de duas cabeças e fazer isso é 1/5, e a probabilidade de fazer isso com uma moeda normal é 1/10. Para encontrar a probabilidade de fazer isso com qualquer moeda, simplesmente somamos as duas probabilidades….1/5 + 1/10 = 3/10. A resposta ao nosso problema do Teorema de Bayes é, portanto, (1/5)/(3/10) que é igual a 2/3 ou 66%. Em outras palavras, se você tentar este exemplo e descobrir que jogou três carros seguidos, há 66% de chance de você ter pego a moeda de dois carros.

Bem, acho que chega de trabalho de probabilidade difícil por enquanto. Caso você esteja ansioso para sacar o Teorema de Bayes, tente jogar um pouco de pôquer. Você está na mesa contra um jogador muito solto e ele gosta de abrir com qualquer par. Quais são as chances de ele ter dois pares ou mais? Com o Teorema de Bayes, você pode calcular a probabilidade exata (ou chances) de que ele tenha os dois pares ou superiores… Muito inteligente, hein?

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